グレイスケール画像の解析

ここではグレイスケール画像をパーシステントホモロジーで解析します。 ここで解説する内容は以下の通りです。白黒画像との共通点は非常に多いです。

1. 画像からパーシステント図を計算する
2. その図を可視化する
3. テキストデータにbirth-death pairを出力する
4. 基本的な逆解析(birth pixle, death pixelの出力)を行う

ここでは入力データとしてはテキストデータを使いますが、 普通の画像でも基本は同じです。

テキストデータについて

ディレクトリには grayscale.txt というファイルがあります。数値が2次元に200x200で並んでいます。これを解析してみましょう。まずデータの中身を見てみます。最初の5行をheadコマンドで表示します。

head -n 5 grayscale.txt

-1.730758967375994217e+00 -1.713858515829446594e+00 -1.691633112022641994e+00 -1.679718096038807618e+00 -1.685308248930357689e+00 -1.700368281773350088e+00 -1.707905711887251599e+00 -1.694812143509194069e+00 -1.661199255611575332e+00 -1.622298108247220316e+00 -1.599581140725563122e+00 -1.603675232841302645e+00 -1.625173753338172933e+00 -1.644864290491452108e+00 -1.651213598690645545e+00 -1.646452865341155869e+00 -1.638912366030435885e+00 -1.632312171719611404e+00 -1.622751801460625476e+00 -1.605687299663269618e+00 -1.583353906135061440e+00 -1.562313095975464750e+00 -1.544877025235305235e+00 -1.526418704835411644e+00 -1.499500718772709629e+00 -1.458694421108197581e+00 -1.405291967626651317e+00 -1.350706410590394091e+00 -1.310630019565630189e+00 -1.289515908147926604e+00 -1.273576385894160667e+00 -1.246041278660831475e+00 -1.208238573859422793e+00 -1.179100655785092266e+00 -1.172998700814633644e+00 -1.184251021992251518e+00 -1.195641090467561618e+00 -1.196139433537825703e+00 -1.187015569804811044e+00 -1.175394214159951600e+00 -1.165510882494183109e+00 -1.154628125478197154e+00 -1.135837049305241431e+00 -1.105494603828178102e+00 -1.067558284507568400e+00 -1.029744148703859663e+00 -9.969614909110514622e-01 -9.692920235850241983e-01 -9.445231398627274011e-01 -9.210024190382448683e-01 -8.986588181236920825e-01 -8.783782310885218658e-01 -8.606848894773049263e-01 -8.449588646567366412e-01 -8.299123891896558192e-01 -8.144612772008124058e-01 -7.981445415579621061e-01 -7.813234217167577267e-01 -7.654020798120777513e-01 -7.522900167340722533e-01 -7.428668780519737114e-01 -7.353587407734755166e-01 -7.250000155641598276e-01 -7.049305028312103927e-01 -6.697625574323610165e-01 -6.229589637523882395e-01 -5.815753302807230574e-01 -5.667764901690519608e-01 -5.840926146242265693e-01 -6.170863200376572877e-01 -6.439265359381507459e-01 -6.553226236237131852e-01 -6.548943304973784407e-01 -6.493556469839969481e-01 -6.425879903255427017e-01 -6.356912421893911036e-01 -6.285957127399682820e-01 -6.209608329945438543e-01 -6.126450190365764215e-01 -6.037506970664056061e-01 -5.945319036818270675e-01 -5.852274998484648938e-01 -5.760872543611028629e-01 -5.680653299504535569e-01 -5.641061639339031153e-01 -5.703063278203613917e-01 -5.936076591955744552e-01 -6.331554392617597671e-01 -6.718256983671963001e-01 -6.830224771043538201e-01 -6.534124117883879368e-01 -5.964870833705564479e-01 -5.392154297773533722e-01 -4.992306805818275128e-01 -4.777134557458674879e-01 -4.675016235891409355e-01 -4.615189991606153397e-01 -4.549195766417022946e-01 -4.445387464906579988e-01 -4.301562768812638993e-01 -4.167181005327957877e-01 -4.126259920172370421e-01 -4.226558889304870559e-01 -4.432057879533233824e-01 -4.660392998516655894e-01 -4.854745495006663192e-01 -5.006080216940885785e-01 -5.123328002196261277e-01 -5.201452034654885370e-01 -5.222367338505952139e-01 -5.191380625867407783e-01 -5.173624915189456441e-01 -5.270580003066305252e-01 -5.533835333199450535e-01 -5.913109626029566801e-01 -6.306109071702635793e-01 -6.644562917041701988e-01 -6.921397127110477943e-01 -7.160188920469818807e-01 -7.382777767907908739e-01 -7.599869365844795777e-01 -7.814159080546477787e-01 -8.023953524682633232e-01 -8.218988254564671969e-01 -8.367144239381234527e-01 -8.400684547063773655e-01 -8.240272369425991617e-01 -7.891480021152852409e-01 -7.541987431841377099e-01 -7.488386307580277013e-01 -7.882759123641193133e-01 -8.580052399549852327e-01 -9.285709494906680961e-01 -9.807375729588005964e-01 -1.012991267353296587e+00 -1.032093128210534561e+00 -1.043896570306730665e+00 -1.052337095775261799e+00 -1.062514455854393747e+00 -1.081658713842963193e+00 -1.115398851758353294e+00 -1.161440418136927333e+00 -1.207162577518419599e+00 -1.236539551927839264e+00 -1.243155004922502860e+00 -1.235812515569519654e+00 -1.229272450774634429e+00 -1.231043976993306366e+00 -1.238752400321764480e+00 -1.247343555838891893e+00 -1.255223280694485410e+00 -1.263912938944096398e+00 -1.274852326744732034e+00 -1.288004934514892064e+00 -1.302524484135322735e+00 -1.317699130462335555e+00 -1.333174278609914554e+00 -1.348814592637741283e+00 -1.364564497042298763e+00 -1.380379276103505193e+00 -1.396216761357978786e+00 -1.412031996526905919e+00 -1.427777644424534254e+00 -1.443404187702833408e+00 -1.458853896482962043e+00 -1.474052358551028785e+00 -1.488842500081393627e+00 -1.502852420393893329e+00 -1.515368117653695057e+00 -1.525586648933964007e+00 -1.533573909646244182e+00 -1.541205057874047490e+00 -1.551407492982973091e+00 -1.565635392225449340e+00 -1.582375049465692518e+00 -1.598647464256829132e+00 -1.612540064231625658e+00 -1.623959935819963007e+00 -1.633678033685320941e+00 -1.642360574543952678e+00 -1.650322072307345289e+00 -1.657665544117193246e+00 -1.664419095626257228e+00 -1.670599919579280668e+00 -1.676223541835793363e+00 -1.681312786993934605e+00 -1.685896940522557008e+00 -1.690005172920885812e+00 -1.693659754701411613e+00 -1.696899264328119772e+00 -1.699806163476265120e+00 -1.702942746749144032e+00 -1.708362644988858703e+00 -1.720721828131073439e+00 -1.745572277893329138e+00 -1.782081180724297775e+00 -1.816207108296787442e+00 -1.828021509173218595e+00 -1.813275529036061373e+00 -1.793177067344148501e+00
-1.734513315469278671e+00 -1.719381142402941487e+00 -1.699418456644994802e+00 -1.688547812555149408e+00 -1.693233011728911386e+00 -1.706512584457715365e+00 -1.713640527652876333e+00 -1.703336075366022273e+00 -1.675528828615484356e+00 -1.642591471339539755e+00 -1.621991086144872085e+00 -1.622459070005713988e+00 -1.636319401590130340e+00 -1.647623121544139257e+00 -1.646902528989303560e+00 -1.636996096718546401e+00 -1.626452863278888161e+00 -1.619171464610895006e+00 -1.611280051482001818e+00 -1.598083072028665841e+00 -1.580963960360612708e+00 -1.564510768958753628e+00 -1.549129063007951279e+00 -1.530090646333123416e+00 -1.501585362756138187e+00 -1.459857884581950316e+00 -1.406721921909173556e+00 -1.353127493242217705e+00 -1.314260833156392305e+00 -1.295002075032961830e+00 -1.282878448851925146e+00 -1.261612166030464666e+00 -1.230315641149329009e+00 -1.203869469948168902e+00 -1.194438546834672099e+00 -1.198258618925401420e+00 -1.202226948719887556e+00 -1.198273234451349367e+00 -1.188543303246097915e+00 -1.179955036080056585e+00 -1.175722183863495474e+00 -1.170593421320871963e+00 -1.154296022883702699e+00 -1.121522980019213467e+00 -1.077803622360993252e+00 -1.034034782318227430e+00 -9.971545395512063648e-01 -9.672662979880771728e-01 -9.412171215139442104e-01 -9.166419424650603665e-01 -8.934149386713842178e-01 -8.727654913778036816e-01 -8.554083216091403763e-01 -8.404036293952308334e-01 -8.257661400780111904e-01 -8.096380798890624453e-01 -7.910070584011055228e-01 -7.704663687013796336e-01 -7.510163495166048975e-01 -7.370066580772732800e-01 -7.307263638825916008e-01 -7.294233691330871405e-01 -7.258751166291017576e-01 -7.116475829670511066e-01 -6.820809982362068258e-01 -6.424266228652666388e-01 -6.094851026473082634e-01 -6.007296984089111058e-01 -6.174747772079648422e-01 -6.429195256583999374e-01 -6.592371625765174326e-01 -6.617760691028320430e-01 -6.561799745428276154e-01 -6.486620468570079012e-01 -6.418414982896998300e-01 -6.358117741382555144e-01 -6.297070674634289711e-01 -6.224898436318012651e-01 -6.137064573614006147e-01 -6.037433640915904620e-01 -5.934296274582649966e-01 -5.833686001978176661e-01 -5.738077465304327607e-01 -5.654464251824359300e-01 -5.607744888953662965e-01 -5.651564029869836636e-01 -5.847513070685782521e-01 -6.187851948005117508e-01 -6.519747857692150816e-01 -6.605488744223200204e-01 -6.325186203339708824e-01 -5.799188546816249623e-01 -5.271091744426377179e-01 -4.903397379481533314e-01 -4.709770377529916563e-01 -4.624563451786581902e-01 -4.580260301920281996e-01 -4.529405576804127476e-01 -4.438770535313267818e-01 -4.300793210116601317e-01 -4.160247028424367000e-01 -4.104216606032076720e-01 -4.190287537676110063e-01 -4.389547160534329473e-01 -4.618783566531070028e-01 -4.816513153147114479e-01 -4.971317937383779584e-01 -5.094021029314013127e-01 -5.184934643972610724e-01 -5.231605841006805591e-01 -5.238012969182374023e-01 -5.254576015408974898e-01 -5.361382000557987082e-01 -5.601371381736383048e-01 -5.938521982755945450e-01 -6.294037097906628464e-01 -6.612094226205798009e-01 -6.882912707241508610e-01 -7.121982260872198323e-01 -7.345859616417990123e-01 -7.563747490766520309e-01 -7.778790561273903892e-01 -7.990791384674695852e-01 -8.193330876350500835e-01 -8.362808914538859550e-01 -8.445262701941302907e-01 -8.373034496210892685e-01 -8.143012766293045157e-01 -7.899832524666963174e-01 -7.881716242204444001e-01 -8.216295472679138179e-01 -8.793632699579784218e-01 -9.381163532524003923e-01 -9.824934487907079905e-01 -1.011083088459631574e+00 -1.029012669442133099e+00 -1.040723405653909639e+00 -1.049386706540841097e+00 -1.059584149482963200e+00 -1.077966034069832491e+00 -1.109664077045203534e+00 -1.152545314227437556e+00 -1.195220254265965121e+00 -1.223466592600988889e+00 -1.231931151972098570e+00 -1.228906799319775756e+00 -1.227497997365854632e+00 -1.233355066019505175e+00 -1.242785416389479813e+00 -1.250566948688552005e+00 -1.256192466753970116e+00 -1.262667603635375002e+00 -1.272256715468673249e+00 -1.284887386380979324e+00 -1.299330975015618339e+00 -1.314579376992708326e+00 -1.330153264590307138e+00 -1.345886286252841568e+00 -1.361720954705101239e+00 -1.377612180132420816e+00 -1.393518726281382181e+00 -1.409397590069856321e+00 -1.425203557058962955e+00 -1.440888430144435128e+00 -1.456389221131940248e+00 -1.471611398563354989e+00 -1.486303508319825717e+00 -1.499808023549301650e+00 -1.510823198833916914e+00 -1.517878881492276122e+00 -1.521131226448841689e+00 -1.524122554971510946e+00 -1.532360732876496323e+00 -1.548587073289106497e+00 -1.569979137742965714e+00 -1.590973960193454051e+00 -1.608018524044966702e+00 -1.620973304085763012e+00 -1.631298377490795204e+00 -1.640225419849974609e+00 -1.648310300535527961e+00 -1.655721826544446218e+00 -1.662506768204870866e+00 -1.668699600822666884e+00 -1.674326066193675633e+00 -1.679413949859291266e+00 -1.683994064859770878e+00 -1.688092658386447953e+00 -1.691721371642713523e+00 -1.694858405620044861e+00 -1.697396325902961189e+00 -1.699413314502573380e+00 -1.702106750849331718e+00 -1.709171271670493431e+00 -1.725892155683185880e+00 -1.752872353800625449e+00 -1.779288615409212237e+00 -1.788304933467955049e+00 -1.775623795762436563e+00 -1.758603430144554780e+00

-1.741454101353613559e+00 -1.729622058466623535e+00 -1.713878091291925365e+00 -1.704934021735842187e+00 -1.707825228626931535e+00 -1.717399140294626037e+00 -1.722696551094777817e+00 -1.715375251666756196e+00 -1.695058682360699454e+00 -1.669914008818464302e+00 -1.651769834846527951e+00 -1.646896497515681901e+00 -1.650231922637710014e+00 -1.650358861833126189e+00 -1.640453395556220828e+00 -1.623954055500381299e+00 -1.609715077126896876e+00 -1.602298844239812947e+00 -1.598448843416126586e+00 -1.593206189396865868e+00 -1.585603789447744161e+00 -1.576009320408387593e+00 -1.561854955566292391e+00 -1.539461463502607597e+00 -1.506911359058535904e+00 -1.463692619165385178e+00 -1.412175375321357507e+00 -1.361608997372756091e+00 -1.325162866640571258e+00 -1.307688340947906980e+00 -1.299063080684429217e+00 -1.284735217808339325e+00 -1.261342625514830784e+00 -1.238055573053047809e+00 -1.223635679584247127e+00 -1.216783555274837170e+00 -1.210081747930285667e+00 -1.199573264265874295e+00 -1.188587563968286576e+00 -1.183714907605166733e+00 -1.186789304159839631e+00 -1.189249617578488571e+00 -1.176387986818465459e+00 -1.140644921584306859e+00 -1.089512578489638228e+00 -1.038005574721736712e+00 -9.957467395092537421e-01 -9.629260038764723140e-01 -9.351953640626867736e-01 -9.092600252155899065e-01 -8.849062031812344742e-01 -8.637888215332492070e-01 -8.468486985963150637e-01 -8.326712216347864626e-01 -8.181812142401279075e-01 -8.001256698573918635e-01 -7.763313941721902145e-01 -7.477924297694171774e-01 -7.208374254848692875e-01 -7.049997691608554939e-01 -7.055826774616428265e-01 -7.176990991405565179e-01 -7.286208527432641580e-01 -7.259561350425398629e-01 -7.057539654938089768e-01 -6.765411389850495283e-01 -6.553070793121059667e-01 -6.541139297826745747e-01 -6.681572900078437405e-01 -6.806983249455550444e-01 -6.804321756076532335e-01 -6.696458258323174650e-01 -6.567184170049827907e-01 -6.469866858119938113e-01 -6.412791420619156080e-01 -6.381566250197638901e-01 -6.350593630109739873e-01 -6.291063191372071595e-01 -6.189748913473223091e-01 -6.058991680127616686e-01 -5.923991858881584305e-01 -5.801567115188862589e-01 -5.694366667733953280e-01 -5.603039089774946024e-01 -5.542598054048520906e-01 -5.552338686023252645e-01 -5.679002861812357805e-01 -5.916234818101444581e-01 -6.145319232451356140e-01 -6.180802621776179118e-01 -5.927362080745720574e-01 -5.478227320596349426e-01 -5.029629724158420911e-01 -4.720379270361942936e-01 -4.568907656608279799e-01 -4.520644623662868344e-01 -4.514495744239429564e-01 -4.507593942738146731e-01 -4.466791870559399524e-01 -4.371694715014269317e-01 -4.246109498700619822e-01 -4.168149969217969097e-01 -4.209733586016390916e-01 -4.366089174023840003e-01 -4.567961677231571205e-01 -4.753405688381482364e-01 -4.905492856607917562e-01 -5.033236936929188499e-01 -5.141339863632555796e-01 -5.223660255685539378e-01 -5.281177261694823821e-01 -5.342474761388810167e-01 -5.457187150465659942e-01 -5.657787086559078471e-01 -5.931698102466006484e-01 -6.235569314625338810e-01 -6.530230402153301972e-01 -6.798940050801276502e-01 -7.043192734744391226e-01 -7.271480977242770205e-01 -7.491599319368603682e-01 -7.708349936182230522e-01 -7.924745282516795220e-01 -8.141266734066144872e-01 -8.347877154642054931e-01 -8.509957139140238436e-01 -8.572809136112360395e-01 -8.515418395457287071e-01 -8.418529552196524213e-01 -8.440263996629026044e-01 -8.678995863753573570e-01 -9.078196062521244336e-01 -9.493808012464410861e-01 -9.825589098998297466e-01 -1.006015391215868249e+00 -1.022513870263601188e+00 -1.034458227854871737e+00 -1.043859431279299477e+00 -1.054351764505393918e+00 -1.071416588639649836e+00 -1.099212612284717894e+00 -1.135969097063094457e+00 -1.172690690013955317e+00 -1.198516553421512310e+00 -1.209905851723953374e+00 -1.213951603295963855e+00 -1.220616864558995873e+00 -1.232490912020559826e+00 -1.244160213954424776e+00 -1.250585021185851353e+00 -1.253111676452463907e+00 -1.256880863720602370e+00 -1.265143709999968502e+00 -1.277575905495538233e+00 -1.292319469961472622e+00 -1.307957105825869881e+00 -1.323873387849524352e+00 -1.339890778342538225e+00 -1.355965609150977746e+00 -1.372057520464955438e+00 -1.388130138855392826e+00 -1.404151143228032250e+00 -1.420086411964227358e+00 -1.435893408655432468e+00 -1.451499651693616499e+00 -1.466774854508296366e+00 -1.481304340219832039e+00 -1.493934986690402145e+00 -1.502341514206684270e+00 -1.503889908704295619e+00 -1.498892621053706353e+00 -1.493797360379258032e+00 -1.498606823828732448e+00 -1.518295298426748152e+00 -1.547743936372029783e+00 -1.576884526869104963e+00 -1.599336780407299985e+00 -1.614932664746450142e+00 -1.626360766649221024e+00 -1.635812612707767233e+00 -1.644212315228995580e+00 -1.651809411853109699e+00 -1.658681415887860888e+00 -1.664906574897895952e+00 -1.670540288475325541e+00 -1.675624225197150707e+00 -1.680192487912094634e+00 -1.684263491521006628e+00 -1.687824887129905305e+00 -1.690729150941443049e+00 -1.692471339171398137e+00 -1.692169617021462180e+00 -1.689492532341128506e+00 -1.686825064311007205e+00 -1.689915486060407757e+00 -1.702753365211660652e+00 -1.719874797034654623e+00 -1.728291071863834238e+00 -1.722110756157885891e+00 -1.711686119590811073e+00
-1.749455005404082497e+00 -1.741571930030056281e+00 -1.730870169477238152e+00 -1.724201876896586105e+00 -1.724820348903694622e+00 -1.729518644445817932e+00 -1.731411337966198394e+00 -1.725132439063204348e+00 -1.709959799891383136e+00 -1.690289665873536906e+00 -1.673306658991330131e+00 -1.663650263354233161e+00 -1.658834988958377332e+00 -1.651210907841733411e+00 -1.635693575984178416e+00 -1.615542572423438461e+00 -1.599464342274373063e+00 -1.593002706240843835e+00 -1.594417807757473105e+00 -1.598709909844570731e+00 -1.601407029203647081e+00 -1.597378197853389858e+00 -1.581353547969283291e+00 -1.552392149193813742e+00 -1.514121069645877782e+00 -1.469931153966835158e+00 -1.422287600077553948e+00 -1.377266499360812135e+00 -1.344135403249275162e+00 -1.326649490686485633e+00 -1.317557358827177616e+00 -1.305600326716142456e+00 -1.286513993818954482e+00 -1.264700768507859729e+00 -1.245538967111277318e+00 -1.229319717473782880e+00 -1.213099090124341251e+00 -1.196169693703310166e+00 -1.182685464701975553e+00 -1.178875582720455117e+00 -1.185678513319409433e+00 -1.192636474527989154e+00 -1.182447538646880236e+00 -1.145982764159925171e+00 -1.091419856619933348e+00 -1.035866099224189707e+00 -9.905616604354514632e-01 -9.559940132504439747e-01 -9.273045395356208642e-01 -9.006951510099786562e-01 -8.758336517534653920e-01 -8.545166085228355080e-01 -8.377396175716268489e-01 -8.237179083826120518e-01 -8.084187883801692287e-01 -7.870050418482075205e-01 -7.557079202627419168e-01 -7.159472937812286775e-01 -6.785843923580069381e-01 -6.603557267706094969e-01 -6.707909053088705331e-01 -7.019599529001344651e-01 -7.330487701980470394e-01 -7.452363905115942933e-01 -7.343426680243470006e-01 -7.127541837392435964e-01 -6.988445258041494634e-01 -7.006359192018587478e-01 -7.087982174971582117e-01 -7.078072092064044973e-01 -6.926183725156678239e-01 -6.711037694467821835e-01 -6.533208405580509526e-01 -6.437442093596617010e-01 -6.420484264253535356e-01 -6.454682045146549196e-01 -6.487621749450978026e-01 -6.454892125597211372e-01 -6.325899581511565950e-01 -6.130799679359136833e-01 -5.929964976536841181e-01 -5.762740958949150727e-01 -5.632512590603557801e-01 -5.528494928493539184e-01 -5.450486899752454706e-01 -5.418954488725427066e-01 -5.462293089458248874e-01 -5.575563580451947665e-01 -5.680482500519802302e-01 -5.653371545318757185e-01 -5.427417491231908420e-01 -5.063505797680917242e-01 -4.703442361861043808e-01 -4.461280312965642536e-01 -4.363332738709372882e-01 -4.367995612995481114e-01 -4.421967348713414792e-01 -4.491439435020287418e-01 -4.547346405665276814e-01 -4.549302090194622950e-01 -4.478223385402172463e-01 -4.381099945964252451e-01 -4.342475871284932065e-01 -4.402620600887273694e-01 -4.530775271041930785e-01 -4.675520248721741767e-01 -4.811601774633290085e-01 -4.938649697028923979e-01 -5.059465311151910560e-01 -5.170266233711725556e-01 -5.267467017392157835e-01 -5.359373701990136629e-01 -5.469550429022463911e-01 -5.624776094820163053e-01 -5.838230209552016658e-01 -6.100709411267429827e-01 -6.385610513430590718e-01 -6.664614404906303857e-01 -6.922492895352639897e-01 -7.159610885833516125e-01 -7.383818293954970136e-01 -7.603224026053343465e-01 -7.825563524941536730e-01 -8.059730323225351434e-01 -8.309755300673131728e-01 -8.557036679504866905e-01 -8.751534422020771364e-01 -8.847314489231360435e-01 -8.866062035477546566e-01 -8.902681953915054791e-01 -9.040065638678078663e-01 -9.273153893466759001e-01 -9.534271624296493108e-01 -9.768106422899608399e-01 -9.961057878996563142e-01 -1.011956791151178647e+00 -1.024905063681864847e+00 -1.035799352069016743e+00 -1.047115580055684170e+00 -1.062799229870805329e+00 -1.085783314761376017e+00 -1.114839920473732482e+00 -1.144001848389070375e+00 -1.166425978249481687e+00 -1.180451127262157618e+00 -1.191298261374207801e+00 -1.205015668200280388e+00 -1.221106904952805827e+00 -1.233293568738088819e+00 -1.237725748007561855e+00 -1.237953584818785036e+00 -1.240795069566748676e+00 -1.249708471334272764e+00 -1.263584148036360322e+00 -1.279819376230609151e+00 -1.296692868315769465e+00 -1.313575174957235969e+00 -1.330357483389489115e+00 -1.347045618701380398e+00 -1.363611884555682829e+00 -1.380034422204862388e+00 -1.396321866179935700e+00 -1.412483651643008153e+00 -1.428497321908194895e+00 -1.444277750725710519e+00 -1.459653741852546149e+00 -1.474051848665072884e+00 -1.485833001753340543e+00 -1.491651958965370950e+00 -1.487706218892782317e+00 -1.474461044532758613e+00 -1.461273963558173516e+00 -1.462644729469625871e+00 -1.485757845295466728e+00 -1.523152182119772879e+00 -1.560240028398441225e+00 -1.587891886453818291e+00 -1.606050634111731990e+00 -1.618708651388991893e+00 -1.628951517239456637e+00 -1.637933812072962514e+00 -1.645896286790172303e+00 -1.652942560830334529e+00 -1.659230784613404008e+00 -1.664876859326809511e+00 -1.669948347296998481e+00 -1.674480377691802024e+00 -1.678472643337075132e+00 -1.681877960390341764e+00 -1.684387837063387128e+00 -1.684961170415932408e+00 -1.681439180000735778e+00 -1.671637453609137847e+00 -1.656904876461841480e+00 -1.644836730422573057e+00 -1.644646705430026667e+00 -1.656802029278817923e+00 -1.670633797763849682e+00 -1.676234261209179399e+00 -1.675312970502390142e+00

-1.755577755912725690e+00 -1.751071994733212733e+00 -1.744675838544958779e+00 -1.739925486526474163e+00 -1.738502933108204473e+00 -1.738731179044636699e+00 -1.736929406407689447e+00 -1.729947275488383340e+00 -1.716786880643438762e+00 -1.699409395230280451e+00 -1.682351469076435624e+00 -1.669738885489829183e+00 -1.661106506801942162e+00 -1.651195751525147415e+00 -1.635516607026993530e+00 -1.616151488541854420e+00 -1.600612088901116836e+00 -1.594944199421608255e+00 -1.599342732125340172e+00 -1.609453482220173148e+00 -1.617998869257907035e+00 -1.615573394399963281e+00 -1.595626691100029859e+00 -1.560340702530947254e+00 -1.518017825253900055e+00 -1.474909207240480580e+00 -1.433039117064777379e+00 -1.394902823882349763e+00 -1.365206051985952795e+00 -1.345961022695023823e+00 -1.332671473208160817e+00 -1.318128340428704526e+00 -1.298874918482850749e+00 -1.276519657807724917e+00 -1.253796083304502318e+00 -1.231274155387022562e+00 -1.208144106104896975e+00 -1.185277885990599467e+00 -1.167191707093055308e+00 -1.160058264359942859e+00 -1.164995558388466357e+00 -1.171989526335282195e+00 -1.163947342892537318e+00 -1.130989159484657058e+00 -1.079699016776280773e+00 -1.026005376678060577e+00 -9.812198206459066263e-01 -9.466472155773600905e-01 -9.180924977035720413e-01 -8.919217914436021744e-01 -8.675837320888235560e-01 -8.465196793589445656e-01 -8.295104042601295635e-01 -8.147102123030396381e-01 -7.977574745013527036e-01 -7.727384166845400193e-01 -7.344786634699088657e-01 -6.846501631188951498e-01 -6.380607836270024702e-01 -6.178735416167192573e-01 -6.374478276912196595e-01 -6.860989430861000882e-01 -7.354001051549351464e-01 -7.599508822840198574e-01 -7.543537339548351817e-01 -7.339138983779111003e-01 -7.191051125545939726e-01 -7.170340512989011872e-01 -7.175777773163368733e-01 -7.074896619307592394e-01 -6.853353523351229937e-01 -6.607830454833912848e-01 -6.436508641688568622e-01 -6.379905644857146729e-01 -6.436689494756320240e-01 -6.572917849311441518e-01 -6.702454162160549345e-01 -6.710099048041417991e-01 -6.540103770916989578e-01 -6.249376238318061771e-01 -5.950699189252309784e-01 -5.717059017219483508e-01 -5.553259029616951503e-01 -5.433001188070371024e-01 -5.338013857400262241e-01 -5.270184291437698398e-01 -5.241372045512541211e-01 -5.247607120458072094e-01 -5.244962835627224873e-01 -5.162200524748503661e-01 -4.956383768279155611e-01 -4.660770613992889499e-01 -4.371939001163556160e-01 -4.184945279037822763e-01 -4.134210155411638388e-01 -4.189198992284660639e-01 -4.303789945806544281e-01 -4.455041088245710323e-01 -4.620929306891376487e-01 -4.741115434093039482e-01 -4.746438105473527180e-01 -4.640744699368450910e-01 -4.514419833223696221e-01 -4.457858223297092026e-01 -4.490272173277786161e-01 -4.578524650379703353e-01 -4.689573332309296405e-01 -4.809960666197626855e-01 -4.935782333744946904e-01 -5.061575787456117359e-01 -5.178866071559106166e-01 -5.281882540978394269e-01 -5.378012352691911024e-01 -5.493451853134451168e-01 -5.662703551762587884e-01 -5.901728772956004176e-01 -6.190597890040913098e-01 -6.488421786680874659e-01 -6.764522018400702663e-01 -7.012581632681241794e-01 -7.241632364958556778e-01 -7.463781031746138384e-01 -7.691603719847049936e-01 -7.941374809964142356e-01 -8.227819963407828618e-01 -8.541590732661025198e-01 -8.829876731260151157e-01 -9.023203470710926544e-01 -9.103332668834618335e-01 -9.130867276987382208e-01 -9.186967079040495587e-01 -9.302909672061283608e-01 -9.459506602230329797e-01 -9.630263909024991964e-01 -9.802035959396354636e-01 -9.966578894249529252e-01 -1.011482162960961384e+00 -1.024514570766840382e+00 -1.037154364733139156e+00 -1.051913146781280339e+00 -1.070641430387428539e+00 -1.092713492754197713e+00 -1.114935013075238013e+00 -1.133884318916706491e+00 -1.149150697408628741e+00 -1.163781133866984785e+00 -1.180155356016753920e+00 -1.195640935782265046e+00 -1.204591811145289793e+00 -1.205614448579725106e+00 -1.204634082554024266e+00 -1.209182181767364472e+00 -1.221657127397193898e+00 -1.239431803890371775e+00 -1.259069920764330774e+00 -1.278694032304912298e+00 -1.297771254210072778e+00 -1.316322151559770726e+00 -1.334419249883534997e+00 -1.352034954741984540e+00 -1.369177949033327346e+00 -1.385975773379445553e+00 -1.402562792630315691e+00 -1.418956966906194772e+00 -1.435030547449675620e+00 -1.450562233323107408e+00 -1.464937479396876130e+00 -1.476372969023864057e+00 -1.481131876002554471e+00 -1.474917585687038679e+00 -1.458243583787887987e+00 -1.441684988080624397e+00 -1.441622591896495553e+00 -1.466116541365608317e+00 -1.506629900749278050e+00 -1.546653563476491078e+00 -1.576068331529019595e+00 -1.595151287069299650e+00 -1.608596128481108112e+00 -1.619727207438994343e+00 -1.629511567006058481e+00 -1.638001573999479321e+00 -1.645301484566189298e+00 -1.651675544729966472e+00 -1.657324558017700289e+00 -1.662344478354823130e+00 -1.666754899991212291e+00 -1.670515491112340989e+00 -1.673552844173584075e+00 -1.675476187038106746e+00 -1.674842949641819789e+00 -1.668370904353077222e+00 -1.652229793049194040e+00 -1.627122161358744545e+00 -1.602985038207877633e+00 -1.594276386535691703e+00 -1.606340330389068871e+00 -1.629134293233232444e+00 -1.647906202495110328e+00 -1.656543414829164451e+00

パーシステント図を計算する前に、このデータを可視化しましょう。txt2png.pyというプログラムを用意しているので これを使ってテキストデータを画像に変換します。変換した画像はdisplayで表示します。

python3 txt2png.py grayscale.txt grayscale.png
display < grayscale.png

パーシステント図の計算

パーシステント図の計算は以下のようにします。 とします。grayscale.pdgmというファイルが生成されます。 これがパーシステント図の情報を収めたファイルです。

python3 -m homcloud.pict.pixel_levelset_nd -m superlevel -T text2d grayscale.txt -o grayscale.pdgm

• -m superlevel はスーパーレベルフィルトレーションを使うことを意味します。-m sublevelとするとサブレベルフィルトレーションを代わりに使います。
• -T text2d で入力データがテキストデータの2次元画像であることを指定します。白黒の場合と同じで二次元画像(picture2d)やnumpyのnpyやnpz(npy)などのフォーマッ トが指定できます。
• -o grayscale.pdgm で出力ファイルを指定します。

パーシステント図の可視化

次に計算結果の0次のパーシステント図、つまり連結成分、島構造、を可視化しましょう。 スーパーレベルを使っているので、値の高い部分、つまり白色のピークの構造などが捉えられます。

python3 -m homcloud.plot_PD -d 0 -l grayscale.pdgm -o grayscale-pd0.png
display < grayscale-pd0.png

ラムのグリッドが細かすぎてちょっとわかりにくいようです(デフォルトは 128x128です)。グリッドを荒くしましょう。

python3 -m homcloud.plot_PD -d 0 -l -X 64 grayscale.pdgm -o grayscale-pd0.png --aspect equal
display < grayscale-pd0.png

この図ではbirth-death pairは図の右下のほうに来ています。 通常は birth < death なので左上のほうに現れるのですが、 スーパーレベルフィルトレーションを使うということは閾値を大きいほうから 小さいほうに下げていく過程での島の生成と消滅を見ているので birth のほうが閾値では大きくなるのです。

練習問題: birth-death pairは[0,1.5]x[0,1.5]のあたりに多く分布しているようです。 このあたりを拡大して表示しましょう。

テキストファイルへの出力

これはどの入力データでも同じです。

python3 -m homcloud.dump_diagram -d 0 -S no grayscale.pdgm -o grayscale-superlevel-0.txt

grayscale-superlevel-0.txtに保存されます。中身を表示しましょう。最初の10行だけ見てみます。

head grayscale-superlevel-0.txt

3.72049834765332 3.7197502020373268
3.7163519029875003 3.7158144776672444
3.621999565745782 3.613981730748671
1.1764648900432442 1.1756972901408884
1.1756502408459244 1.1756031665923592
1.176775669503608 1.1748963545484543
1.2025095889411836 1.1715595335783242
1.1607016486307964 1.1514168046689475
1.144886203274946 1.1393591765897264
1.1031681467566068 1.1001210786038202

1列目がbirth time、2列目がdeath timeです。 このデータからも birth > death となっていることがわかります。

逆解析(birth pixel, death pixel)

対角線から離れた birth-death pairが重要な構造を表現しているわけなので、上で 見たパーシステント図から、death - birth < -0.3 となるような点の 由来を元データに戻って調べてみることにしましょう。下図の 丸を付けたものです。

逆解析の手法も基本的には白黒画像の場合と同じです。 HomCloudのbirth pixel、death pixel出力機能を使います。島(連結成分)が生まれた/死んだ ときのピクセルの位置を出力します。 まずはテキストで出力します。

# tail で最後の10行だけ表示
python3 -m homcloud.dump_diagram -d 0 -S yes grayscale.pdgm | tail

-1.5292675948681733 -1.5400836600671948 (88,2) (90,3)
-1.5413596314234344 -1.5831996859306654 (36,0) (37,4)
-1.5884243486914738 -1.5908046137992315 (14,11) (14,13)
-1.5930027062408438 -1.5984488434161266 (3,17) (2,18)
-1.5668293115598437 -1.601833141975077 (5,195) (9,194)
-1.5232800014760985 -1.6283134807186745 (54,5) (50,6)
-1.6094945667836733 -1.6390118542891057 (65,6) (65,10)
-1.5995811407255631 -1.6476231215441393 (0,10) (1,13)
-1.479932398544032 -1.6514492209053797 (17,0) (19,6)
-1.6797180960388076 -1.7079057118872516 (0,3) (0,6)

1列目がbirth time、2列目death time、3列目がbirth pixel、4列目がdeath pixelです。 0次のパーシステントホモロジーの場合、birth pixelがその島のピーク位置になるので 重要です。つまり3列目ですね。これを可視化してみましょう。 このピクセルを入力画像の上に表示してみます。

python3 -m homcloud.view_index_pict -d 0 -f "lifetime < -0.3" -B --no-label \
    grayscale.png grayscale.pdgm -o grayscale-birthpixels.png
display < grayscale-birthpixels.png

オプションの意味等は二値画像の場合と同じです。ちょっと注意しておくと、ここでベースの画像 (grayscale.png)に最初にtxt2png.pyで作った画像を使っています。

この画像がgrayscale-birthpixels.pngに出力されます。 赤い丸がbirth pixelの位置です。

画像の特徴的な白のピーク位置が捉えられています。では一番のピークの 位置はどうなっているのでしょう？実はこれはdeath timeが-∞となるものと対応しています。 そしてdeath timeが-∞のものに関してはbirth/death pixelが出力されていないので こうなっています。

高度な逆解析

二値画像の場合にはpict.treeモジュールを使って高度な解析を行いました。グレイスケール画像の場合でも同様の解析を 行ってみましょう。

python3 -m homcloud.pict.tree -m superlevel -T text2d grayscale.txt -o grayscale-tree.pdgm

-m オプションや -T オプションの意味はこのグレイスケール画像のチュートリアルの最初に説明した pict.pixel_levelset_nd と同じです。

pict.show_volume_2d で可視化します。

python3 -m homcloud.pict.show_volume_2d -d 0 -f "lifetime < -0.3" -B --volume --alpha 0.1 -S 5\
    grayscale.png grayscale-tree.pdgm -o grayscale-pd0-volume.png 
display < grayscale-pd0-volume.png

赤い四角形が birth-pixel でその周辺の薄い赤い領域がその birth-death pair に対応する領域です。 このプログラムの引数は以下の通りです。

• -d 0 0次のPDのbirth-death pairを調べることを指定
• -f "lifetime < -0.3" lifetime (death - birth) が -0.3 より小さい birth-daeth pairに 対応する領域だけ表示することを指定します。
• -B birth pixelを表示することを意味します。これを指定しないと赤い点が表示されません。
• --volume 領域を表示することを意味します。
• --alpha 0.1 領域を描画するときの色の濃さを指定します。0から1の範囲で指定し、小さくなるほど 色が薄くなります(0で完全に透明になる)
• -S 5 でbirth pixelの表示の大きさを指定します。5だと5x5になります。
• grayscale.png grayscale-tree.pdgm -o grayscale-pd0-volume.png で画像ファイル名、pict.treeで生成した解析結果のファイル名、そして出力ファイル名を指定します。

以上でこのチュートリアルは終わりです。